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以数学的眼光观察生活

2012-03-05 20:03:50
分类:教学动态

数学家华罗庚说得好:"宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,无处不用数学。"数与形是世上万事万物的共同存在形式,因而专门反映数与形规律的数学,在现实世界中无所不在,无处不用。数学广泛渗透到自然科学、社会科学的各个学科,也体现于、作用于日常生活之中,联系到这些数学实际,抽象的数学就具体化了,会使人兴趣盎然,数学不再枯燥和难学了。

 

提高中学生学习数学的应用意识,并不是非要到车间、农村去学数学,而是要求中学生用数学知识去观察周围的实际情景,并进行分析和解释,这可以加深对数学的认识,理解数学应用的威力。翻开天天使用的教科书的版权页,都写有:"开本787X1092mml/16"或"开本850mmX1168mml/32",这是什么意思?平时所说的8开纸和16开纸,以及32开纸的形状相似吗?为了解答这个问题,可以给学生一张8开的纸,让学生沿纸的长边对折成16开,然后再对折成32开,通过测量纸的长和宽之比约为根号2,即1.414…,说明它们都是相似形。也就是说,由 l/x=x/(l/2)可求出l:x=根号2:1(图l)。通过这个实际问题,让学生讨论造纸厂生产纸时,如何设计纸的大小为最优,并让学生用相似形的知识去解决这个问题。

 

 

学生经常要参加考试,还时常要统计班上的平均分。例如,有一位学生期末数学成绩78分,全班共30人,有一个0分.一个12分,一个60分,20个80分,5个90分,一个100分,全班平均分为

 

这位学生成绩超过平均分,如果他很得意,认为是中上等学生,对吗?其实,这不反映中上等水平,因为他是全班倒数第四。这说明求平均数也有一定缺点。求平均数有某些实用价值,但有人却不大注意它的缺点。在初三数学课的"统计初步"中.还要学习中位数、众数、方差、标准差等概念,可帮助学生理解怎样通过正确统计,从大量现象中反映总的水平与特征。

 

几何概念是从生活中抽象出来的.有一个抽象化和理想化的特点。比如说"平面",是一个不定义的基本概念,平静的水面,玻璃面……是对它的一个现实模型的描述,平面的性质是通过公理来确定的。例如公理l"如果一条直线上有两个点在一个平面内.那么这条直线上的所有点都在这个平面内",看似枯燥抽象,但在生活中有着大量的应用。让学生观察周围的生活,如果玻璃板是新的,将直尺在玻璃板上竖起左右推动,则尺边和玻璃板面无空隙,不透亮点。但如果另一块玻璃有一个凹坑,用这种方法推动直尺时,则有空隙和透亮点,说明这块玻璃板已经不平了,即"直线上的所有点都在这个平面内"不成立了。公理1反映了平面特有的性质,如果是球面.用一根棍穿过去,只有两个交点,直线上其他点均不在球面上,说明球面不具有平面的公理1的特性。建筑队师傅在做水泥地面时左右推动铲具,其实也应用了公理1这条原理。

 

还可以给学生提出一个出游时的问题:"一辆面包车3m高,1.6m宽,要经过一处半圆形的隧道.其半径为3.6m.这辆面包车能通过这个隧道吗?

 

可以画出一个图,如图2设MKPN为面包车的一个纵截面,OG为山洞高,即de垂直于AB,则NP=3m,OP=0.8m。由勾股定理,得

 

ON=根号下(PN的平方+OP的平方)=3.1

 

延长ON,交半圆于N',ON'=3.6m,所以还有足够的余量使面包车安全通过隧道。

 

生活中有许多事物是可以量化的,可以用数学方法讨论。例如,有几个家庭要全家去某地旅游,他们同去A、B两个旅行社打听购票办法。这两个旅行社票价一样,但优惠办法不同,A旅行社优惠的办法是:全家有一人购全票,其余人半价优待;B旅行社是全家每人按2/3的原价优待购票。你看哪个旅行社更优惠?

 

 

应该让学生注意到:要考虑这几个家庭旅游人数不同时,对A、B两旅行社的选择也不会相同。我们可以设家庭人数为X,若两旅行社单人全票为M元,A旅行社全家总票价为)YA,B旅行社全家票价为YB;,则令yA=yB;,求出X值后,可知家庭人口为多少时,两旅行社收费相等,即

 

由此可知,当全家为3口人时,两家旅行社收费相等。其实,利用中学数学所学的函数知识,画一个图,可以使问题的研究更为明确: yA和yB;为两个一次函数,它们的图象为直线,如图3所示。

 

 

从图3中可以看出,两直线在。X=3处相交,当X<3时,B旅行社就更优惠;当X>3时,A旅行社更优惠。因此选择旅行社时,要考虑家庭人数。

 

观察周围的实际情景,探求它们的数学内涵,可以体现在许多方面。例如,去购物时遇到"大甩卖"""打折"等问题,怎样计算才合适呢?比方,"一商店把某货物按标价的九折出售,标价为 2 640元,听说他们可获得20%的利润,那么它的进价是多少?"这个问题可以利用方程来解:设此货物进价为X元,则

 

(2 640X90%x)/X=0.2

 

解得x=1980(元)。

 

通过计算,可以再访问几家商店做做比较,然后再购物。

 

近年来,数学高考试题强调了数学的应用意识。例如,2000年高考试题第(21)题:

 

"某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图5的抛物线表示。

 

 

1.写出图4表示的市场售价与时间的函数关系式P=F(t);

 

写出图5表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t) ;

 

2.认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红市纯收益最大。

 

(注:市场售价和种植成本单位:元/100KG ,时间单位:一天)

 

本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题,考查运用所学知识解决实际问题的能力。本题正确解答应该是:

 

 

 

综上,由100>87.5可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得的最大值为300,此时t=50,即从2月1日起50天时,上市的酉红柿收益最大。对于此题。不少学生解答有错误,有些学生"看不懂题",其中一个原因是对生活中的"成本""效益"不关心,不了解,应用意识差,学了抽象的函数概念、图象之后,遇到实际问题束手无策。另外,还有些学生缺少分析能力和数形结合的思想,没有从图4看出西红柿的价格与时间的关系应是分段函数,也就是说,西红柿刚上市最贵,以后价格直线下降,到第200天又开始涨价,这两个都是一次函数关系。在考虑纯收益时,也没有从两段区间分别考虑,加以比较来确定答案。解答这道题,要求学生将实际问题转化成数学问题,会用数学观点观察分析现实问题,并用数学方法解决问题。

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