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奋战13高考(14):命题的否定’的类型与方法

2013-05-13 09:05:40
分类:高考论坛

1、含有量词的命题的否定

    不管是性质命题还是关系命题都有“量项”这一构成部分,根据“量项”可把命题大致分为单称命题、特称命题和全称命题三种。

    1.1单称命题的否定

    单称命题的主项的外延不是一类事物,而是单独的个体。单称性质命题的否定极为简单,只要否定“联项”即可,例如“0是自然数”的否定为“0不是自然数”。单称关系命题的否定只要否定“谓项”,例如“12大于5”否定为“12不大于5”。

    1.2特称命题的否定

    特称命题是指命题的量项采用了“有些”、“存在着”等特称量词的命题。特称性质命题的否定一般要对“量项”和“联项”同时进行否定,如“有些质数不是奇数”的否定为“所有的质数是奇数”;特称关系命题需要对“量项”和“谓项”同时进行否定,便如“存在实数x,使得x2+4≤0”否定为“对任意的实数x,都有x2+4≥0”。

    1.3全称命题的否定

    量项采用了“一切”、“所有”、“任意一个”等量词的命题即为全称命题。否定原则与特称命题的否定相同,且全称量词与特称量词互为否定,但要特别注意的是,由于全称量项表示主项的全部外延,往往可以省略不写,从而否定时易误当作单称命题处理而出错。

    例:(1)P:实数的绝对值是正数;

   (2)P:全等三角形一定是相似的三角形;

   (3)P:相似三角形一定是全等三角形。

    分析:若把命题(1)否定为“实数的绝对值不是正数”,显然“P”与“非P”同为假命题,违背真值表。其实命题(1)省略了全称量词“所有”,应补全后再否定为“存在至少一个实数绝对值不是正数”或否定为“实数的绝对值不都是正数”,即把原来的联项“是”理解为“都是”,否定为“不都是”。对命题(2)可否定为“存在全等三角形不是相似三角形”,但是又可否定为“全等三角形不是相似三角形,”但是又可否定为“全等三角形一定不是相似三角形”(参见高一数学教学参考书),可见是一个不必补全的例子或者说“是”不必理解为“都是”。

     那么命题(3)呢?若否定为“相似三角形一定不是全等三角形”显然又违背真值表,若否定为“相似三角形不一定是全等三角形”,其与命题(3)的真假的确相反,但“不一定”一词出现在命题中,已超出了简易逻辑的讨论范围。其实问题的症结仍在于联项“是”怎么理解,或者说何时必须补全省略词。

     我们是否可这样来判断,当谓项对应的集合的补集与主项对应的集合交集为空集时,可直接否定“是”为“不是”;当谓项对应酬集合的补集与主项对应集合的交集不为空集时,“是”应理解为“都是”,否定其为“不都是”,或者补全命题再否定。例如:记A={全等三角形},B={相似三角形},U={三角形},(CUA) B≠φ,故命题(3)否定为“相似三角形不都是全等三角形”或“有此相似三角形不是全等三角形”;而(CUA) A≠φ,故命题(2)可否定如前面所述。

   2、“若P则q”型命题的否定

    对于“若P则q”型命题的否定应为“P且非q”,已不再是蕴含式命题。大家有疑问的是一个命题若能改写为“若P则q”型,改写前后的否定,形式上不同,实质上是否一致?这一点是肯定的,只要把“P且非q”用通俗语言表达为“P然而非q”,就能理解不同形式的同一个命题的否定结果是一致的,但否定时仍然要注意它们是否为省略了量词的简化形式。

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