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张能立:一次失败的思维活动

2012-04-18 10:04:16
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  昨天,甘肃临夏中学数学老师魏金宝在教育科普群中提出了一个基本的几何问题:“运用尺规作图,如何将一个已知长度的直线n等分?”。示意图如图1所示:

  图1  将一个已知线段5等分

  当时,我思考这个问题的时候,因受头脑里面已有的认知框架影响(我清楚线段的平分线的画法),认为如果是等分为偶数线段,那么就只要不断反复运用“平分线段法”就能解决问题(其实,这个想法本身就不成立);对于等分线段是奇数,那么只需要做一个变换1/n = 2/(2*n)就行。魏老师马上指出了笔者的这个思路是错误的,我仔细一想,这种方法确实行不通。

  后来,进一步思考,我觉得需要借助外部的东西才能解决这个问题,当时头脑就想到如果有一组等间距平行线去切割待分直线,就能解决这个问题。思维示意图如下图2所示:

 

  图2  头脑风暴-1

  问题接踵而来,那如何用尺规作出这样互相平行的截线呢?于是,我就想到用另外一条已经用尺规等距离分割好的线段,如下图3所示:

  图3  头脑风暴-2

  仔细打量上图,开始有些灰心丧气,因为两条直线等距离点之间的连线并不是平行线,企图运用平行线来分割待分直线的念头就被上面的这个图形打断了。于是,我就在百度上检索到这个问题的答案:“过点A作另一条直线AC,以A为起点,用圆规依次截取相等的线段,AC1=C1C2=C2C3=…=C(n-1)C,连结AB,过所有的分点,作直线与AC平行,与直线AB就产生了n-1个交点,利用平行线等分线段定理,就可以得到线段AB的任意等分了”。看罢百度给出的答案,我立即明白,我原来借用平行线来分割的思路是对的,只不过是“变化”这个思维还没有发展好,遇到图3这个的困难后就放弃了,没有想到移动直线CD,使得C点与A点重合。只要这样“变化”一下,这个问题就迎刃而解,如下图4所示:

  图4  头脑风暴-3

  现在只需要在已经事先等分好的辅助直线CD上的等分点,作一条鱼BD平行的直线,那么这簇等间距平行线必定平分待等分直线AB。

  值得向普通读者强调的是,过直线外一点作一条与该直线的平行线,不是拿直尺平移做出的,而是要借助圆规和直尺共同作图实现的。如下图5所示:

  图5  头脑风暴-4

  问题:AB是某条直线,C点是处于直线AB之外的一个点,求作一条过C点、且与直线AB平行的直线。

  具体步骤如下:

  1、作过C点垂直直线AB的垂线

  (1)、以A为圆心,AC为半径画圆;

  (2)、以B为圆心,,BC为半径画圆;

  (3)、以上两圆相交C、D两点;

  (4)、连接C、D两点,直线CD与直线AB相交于E点。直线CD就是所求的过C点垂直直线AB的垂线。

  2、作直线AB的中垂线

  (1)、以A为圆心,AB为半径画圆;

  (2)、以B为圆心,,BA为半径画圆;

  (3)、以上两圆相交F、G两点;

  (4)、连接F、G两点,直线FG与直线AB相交于H点。直线FG就是所求的直线AB的中垂线。

  3、以H点为圆心,直线EC长度为半径画圆,相交直线FG为I点(为了清晰,该圆没有在图5中出现)。连接I、C两点,即为过C点,且与直线AB平行的直线。

  在几何问题中,当出现“过某点作一条平行某直线”的文字的时候,就是默认读者已经知道上面的方法,而不必每次都把上述步骤重复一次。

  再次鸣谢魏金宝老师在教育科普群(140845343)中提出这么一个基础的几何作图问题。笔者衷心希望有缘阅读本文的读者,能像美国著名数学家及数学教育家波利亚老师所说的那样“他却有可能发现一道数学题目会如同一个纵横字谜游戏一样有趣,或者发现充满活力的思维练习就像一场激烈的网球比赛一样令人神往。在尝到了数学带来的乐趣后,他就不会轻而易举忘记,于是数学就很有机会成为他生活中的一部分:一种爱好,或者他专业工作中的一种工具,或者是他的职业,或者是一种崇高的抱负。”[1]

  笔者在上篇“一次失败的思维活动”中,提及到之所以不能解决“将已知直线n等分”这个基本几何作图问题,是由于思维的“变化”不够,如图1所示:

  图1  失败的头脑风暴

  笔者在上篇文章中反思,这次失败的思维活动,是没有进一步的“变化”,也就是将图1中的直线CD移动,使得C点与A点重合,如图2所示:

  图2  成功的头脑风暴

  其实,当大脑产生了图1这样的思维风暴后,如何“变化”直线CD就大有讲究。图2示意的做法,就是移动直线CD,使得C点与A点重合,从而导致问题被解决。难道“变化”直线CD就只有一种“变化”方法吗?还有其它的变化方法没有?

  让我们大脑再重新审视图1和图2,看看从图1到图2是否蕴藏着某种新的启示。我们先从美的角度审视一下图1和图2,我们发现图2是一个三角形,图1是一个不规则的四边形。由于三角形的稳定性,以及三角形是构成复杂几何图形的基本元素等原因,我们会认为三角形能比不规则四边形带给我们更多的美感。如果从美感这个角度思考,平行线也能带给我们美的享受。于是,一个好的念头(good idea)就诞生了:让我们在图1的基础上,移动直线CD,使得直线CD平行直线AB。如图3所示:

  图3  好的念头-1

  我们再来欣赏图3,,平行线CD和AB,带给了我们一种美的享受。为了解决具体问题,我们的思维不能停留在仅仅对美的享受层面,我们的思维仍然还要追求“变化”。让我们分别作一条过A、C两点的直线和过B、D两点的直线,设这两天直线的交点为E。如图4所示:

  图3  好的念头-2

  对于图3,,有一个念头会迸发出来:我们能否利用E点和直线CD上的等间距点来平分直线AB呢?在这个心理暗示下,我们就很有可能想到,将点E分别于直线CD上的等间距点连接起来并且延长,分别与直线AB相交。如图5所示:

  图4  好的念头-3

  当我们按照图4所示做了后,就突然发现问题就是这样“不经意”地被解决,直线AB已经被5等分。

  读者也许会问:你是怎么想到作一条与直线AB平行的等间距直线CD这种办法呢?实话实说,笔者没有这么聪明。发现这种新的方法的缘由是这样的,当笔者在写“一次失败的思维活动”这篇反思文章的时候,头脑就在琢磨一个问题:“直线等分法”是一个经典的基础几何作图问题,前人,特别是数学大家一定研究过,那么这些聪明人是怎么想的呢?恰好,笔者为了重新认真学习基础几何知识,买了一本著名法国几何数学家J.阿达玛的名著《几何学教程--平面几何卷》(朱德祥、朱维宗译),于是笔者就去查这本名著是否有这方面的内容。果不其然,在书中123页“第19章  作图”,第一个作图问题就是关于“直线等分法”问题。学习了书中这部分内容后,大受启发,于是就写下了学习心得,敬请各位读者批评指正。

  对于孩子来说,学习困难吗?对于家长来说,教育困难吗?答案是不言而喻的。但是,如果我们潜心去学习阿基米德、伽利略、笛卡尔、牛顿、达尔文、爱因斯坦等历史上最聪明人,是如何思考和解决问题的;如果我们去哈佛、耶鲁、伯克利分校、斯坦福、牛津、剑桥等世界著名大学寻求智慧的时候,学习问题,教育问题也许就会让孩子和我们家长少走弯路,就会让我们普通人也能领略真知不仅仅有趣,而且更有力量!

       著名数学家和数学教育家波利亚老师曾对数学教师说得:“因此,一位数学教师就有很大机会。如果他把分配给他的时间都用来让学生操练一些常规运算,那么他就会扼杀他们的兴趣,阻碍他们的智力发展,从而错失他的良机。相反地,如果他用和学生知识相称的题目来激发他们的好奇心,并用一些激励性的问题去帮助他们解答题目,那么他就在培养学生对独立思考的兴趣,并教给他们某些方法”[1]。虽然波利亚老师是对数学老师如此说道,但是何尝不适合我们家长呢?笔者衷心期待,本文能带给家长朋友一点点借鉴,果真如此,善莫大焉!

  参考文献:

1、波利亚,《怎样解题》,涂弘、马承天译,上海科技教育出版社,2007年5月

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