客观题目

　　1. 设A、B、C是直线l上的三个不同的点，点O是坐标原点，如果 ，那么点（x，y）的轨迹是（ ）

　　 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

　　 答案：B

　　2. 如果以原点为圆心的圆经过双曲线 的焦点，并且被直线 为双曲线的半焦距）分为弧长为2：1的两段弧，则该双曲线的离心率等于（ ）

　　 A． B． C． D．

　　 答案：A

　　3. 已知球O的半径为2cm，A、B、C为球面上三点，A与B，B与C的球面距离都是πcm，A与C的球面距离为2π/3 cm，那么三棱锥O—ABC的体积为（ ）

　　 A． B． C． D．

　　 答案：A

　　 4. 宿舍楼内的走廊一排有8盏灯，为节约用电又不影响照明，要同时熄掉其中3盏，但这3盏灯不能相邻 ，则不同的熄灯方法种数有 （用数字作答）

　　 答案：20

　　5. 某公司2008年计划总投资700万元，如图是预计在各个项目中投资资料的起草方案，在1万元以上的项目中，有 8/21 少于2.5万元，那么不少于2.5万元的项目有　　　万元。

　　 答案：91

　　6. 图（1）为相互成120°的三条线段，长度均为1，图（2）在第一张图的线段的前端作两条与该线段成120°的线段，长度为其一半，图（3）用图（2）的方法在每一线段前端生成两条线段，长度为其一半，重复前面的作法至第n张图，设第n个图形所有线段长之和为a_n，则a_n= ．

　　 （1） 　　　　（2） 　　　　　（3）

　　答案：a₁=3， ， ，

　　 ∴数列{a_n}为以a₁=3为首项，3为公差的等差数列，a_n=3+(n-1)×3=3n

7.（理）三条正态曲线对应的标准差分别为σ1,σ2,σ3(如图)， 则σ1,σ2,σ3大小关系是 .

　　答案：σ3>σ2=1>σ1

　　8. 直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f (x)的图象恰好通过k个格点，则称函数f (x)为k阶格点函数.下列函数：①f(x)=sinx；②f(x)=π(x-1)²+3；③ ；④f(x)=log_0.6x其中是一阶格点函数的有 .（填上所有满足题意的序号）

　　 答案：①②④

　　主观题目

　　1. 在△ABC的三边为a，b，c，已知 且.

　　（I）求cosC的值；

　　（II）求△ABC面积S的最大值．

　　答案：（I） ，又由余弦定理得

　　 ．

　　，，得 ，

　　（II）由 ， ．又 ，

　　 ．

　　当且仅当 时，等号成立． ．

2. (理) 某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需加答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答．

　　 （I）求某选手第二次抽到的不是科技类题目的概率；

　　 （II）求某选手抽到体育类题目数ξ的分布列和数学期望Eξ．

　　 答案：（I）记A：该选手第二次抽到的不是科技类题目；

　　B：该选手第一次抽到科技类而第二次抽到非科技类；

　　C：该选手第一次和第二次都抽到非科技类题目．

　　则 ．

　　（II）ξ的取值为0，1，2．

　　 ； ； ．

　　故ξ的分布列为：

　　于是，ξ的期望 ．

　　 （文）某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为2/3．

　　(I)求选手甲在初赛中所答题数为3的概率；

　　（II）求选手甲进入决赛时所答题数所有情况的概率。

答案：（I）

(II) 选手甲答3道题进入决赛的概率为 ；

　　选手甲答4道题进入决赛的概率为 ；

　　选手甲答5道题进入决赛的概率为 。

　　3. 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直⊙O所在的平面，C为⊙O上一点，AB=2,AC=1，二面角P-BC-A为π/4.

　　 （I）求证BC⊥面PAC；

　　（II）求三棱锥P-ABC体积；

　　（III）求点A到面PBC的距离.

　　答案：（I）∵PA⊥⊙O所在平面，且BC为⊙O的弦

　　　　　　　∴PA⊥BC.

　　　　　　　∵AB为⊙O的直径

　　 ∴BC⊥AC.

　　 　　　　而PA∩AC=A

　　　　　　∴BC⊥面PAC.

　　　　（II）由BC⊥面PAC得BC⊥PC.

　　 又由（1）知BC⊥AC

　　 所以∠PCA是二面角P-BC-A的平面角

　　 .

　　　　　　 ,

　　 .

　　 .

　　 （III）设点A到面PBC距离为h

　　 , .

　　 . .

　　 （文）如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB= ，点E为AB的中点.

　　 （Ⅰ）证明：D₁E⊥A₁D；

　　 （Ⅱ）求二面角B—CE—D₁的正切值.

　　答案： （Ⅰ）连结AD₁，则AD₁⊥A₁D，

　　∵AE⊥平面AA₁DD₁，

　　∴D₁E⊥A₁D.

　　 （Ⅱ）作DG⊥EC于G，

　　连结D₁G，则D₁G⊥EC.

　　∠D₁GD二面角D₁—CE—D的平面角.

　　　∴ ，

　　∴

　　∴

　　∴二面角D—CE—D₁的正切值是 ∴二面B—CE—D₁的正切值是－

　　4. 已知圆A：，圆B：，动圆P与圆A、圆B均外切，直线的方程为x=a（a≤1/2）.

　　（Ⅰ） 求动圆P的圆心的轨迹C的方程；

　　（Ⅱ）过点B的直线与曲线C交于M、N两点，（1）求｜MN｜的最小值；（2）若MN的中点R在上的射影Q满足MQ⊥NQ，求a的取值范围.

　　答案：（Ⅰ）设动圆P的半径为r，则│PA│＝，│PB│=,

　　∴│PA│－│PB│=2.

　　故点P的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，

　　其方程为（x≥1）.

　　（Ⅱ）(1)设MN的方程为x=my+2，代入双曲线方程，得

　　.

　　由，解得.

　　设,则

　　.

　　当时,.

　　(2)由（1）知 ，.

　　由,知.

　　所以，从而.

　　由,得a≤-1.

5. (理)已知函数 在x = 0处取得极值0．

　　(I)求实数a，b的值；

　　(II)若关于x的方程，f(x)= 在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；

(III)证明：对任意的正整数n＞1，不等式 都成立．

　　 答案：(Ⅰ) = ∵x=0时，f(x)取得极值0，∴

　　解得a=1.b=0,经检验a=1,b=0符合题意.

　　(Ⅱ)由a=1知f(x)= x² +x -ln(x+1)，由f(x)= +m,

　　得x²- ln(x+1) - x-m=0，令φ(x)= x²- ln(x+1) - x-m，

　　则f(x)= +m在[0，2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)=0在[0，2]

　　恰有两个不同实数根．

　　 ，

　　当x∈(O，1)时， <O，于是φ(x)在(O，1)上单调递减；

　　当x∈(1，2)时， >0，于是φ(x)在(1，2)上单调递增．

　　 依题意有

　　 ∴ .

　　(Ⅲ) f(x)= x² +x- ln(x+1)的定义域为{x|x> -1}， 由(Ⅰ)知 ，

　　 ∴当-1<x<0时， <0，f(x)单调递减；

　　 当x>0时， <0，f(x)单调递增.

　　∴f(0)为f(x)在(-1,+∞)上的最小值.

　　∴f(x) ≥ f(0)，又f(0)=0故x²+x ≥ ln(x+1) (当且仅当x=0时，等号成立).

　　对任意正整数n，取x= >0得， + > ln( +1)=ln(n+1)-lnn，

　　而 ，

　　即

　　故

　　 （文）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且

　　 （Ⅰ）求证：数列 为等差数列；

　　 （Ⅱ）求满足 的自然数n的集合.

　　 答案：（Ⅰ）

　　 为首项，－1为公差的等差数列.

　　 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

　　当

　　由 ，解得 ，而

　　故所求n的集合为{6}.

　　6. （理）已知函数 ，无穷数列{a_n}满足

　　 （I）求a₁的值使得{a_n}为常数列；

　　 （II）确定a₁的范围，使得 对一切 均成立（只需写出结果，无需严格证明）；

　　 （III）若a₁=3，求证：

　　 答案：（1）设 ，∴m=1或m=2

　　经验证，当a₁=1或2时 为常数列。

　　（2）由 ，∴

　　又 。

　　当 用数学归纳法可证a_n>2满足条件。

　　当 时不能总满足 。

　　∴a₁>2。

　　（3）

　　由（2）知a_n>2

　　（文）已知函数 。

　　 （I）当a=1时，求f(x)的最小值；

　　 （II）若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线，

　　求a的取值范围

　　 （III）设g(x)=|f(x),x∈[-1,1]|，求g(x)的最大值F(a)的解析式。

　　答案：（I）

　　 当x∈(-1,1)时， 时， ，

　　 ∴f(x)在(-1,1)上单调递减,在(-∞,-1],[1,+∞)上单调递增

　　 ∴f(x) 的极小值是f(1)=2

　　 （II） ， 要使直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线，当且仅当-1<-3a时成立，

　　 （III）因 最大值

　　 ①当 时，

　　 ②当 时，

　　（ⅰ）当

　　 （ⅱ）当 时，

　　 在 单调递增；1°当 时，

　　 ；2°当

　　 （ⅰ）当

　　 （ⅱ）当

　　 综上