在2007年高考来临之际，我们从2006年全国各地高考试卷和2006—2007学年各地模拟考试卷中精选了设计新颖、构思巧妙的数学创新题，分十天呈现给广大的考生和高三数学老师，期待者通过创新题的研究——考前每一天的思维体操，有一种激情、有一种创新！如2007年上海市春考卷第17题(满分14分)，该题的设计是新颖，要求考试既要编题，又要解题．显然是考能力的“活题”．这是用数学问题考查创新意识的典范，读者应从中有所启发．本套练习所选新题的特点是：新而不难，活而不繁，入口较宽，思路多变，是数学非智力因素训练的好素材。

　　在离高考还有两周的日子里，你不妨拿出半个到一个小时（视学习程度而定），让头脑接受一次风暴！祝愿所有的高三学子笑傲高考，梦圆六月！

1、 已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表.

填写下列g[f(x)] 的表格,其三个数依次为

A. 3,1,2 B . 2,1,3 C. 1,2,3 D. 3,2,1

答案：D

2、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“ ”如下：

当a≥b时，ab=a；

当ab=b²。

则函数 的最大值等于（ C ）

（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）A. -1 B. 1 C. 6 D. 12

3、 在△ABC中，B(-2,0),C(2,0),A(x,y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：

则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为 （用代号C₁、C₂、C₃填入）

答案：C₃C₁C₂

4、已知x∈R，［x］表示不大于x的最大整数，如[π]=3， ， ，则 _____________；使[x-1]=3成立的x的取值范围是_____________

答案：2

5、(2007年上海市春考卷第17题，本题满分14分) 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.

例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”.求出体积16/3 后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为16/3 ，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为16/3 ，求所有侧面面积之和的最小值”.

试给出问题“在平面直角坐标系xOy 中，求点P(2,1) 到直线3x+4y=0 的距离.”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题．

“逆向”问题可以是：

[解] 设所求轨迹上任意一点为P(x,y) ，则 ，

(2) 若点P(2,1) 到直线l:ax+by=0 的距离为2，求直线l 的方程．所以，直线l 的方程为x=0 或3x+4y=0 ．意义不大的“逆向”问题可能是：

(3) 点P(2,1) 是不是到直线3x+4y=0 的距离为2的一个点？

[解] 因为 ，所以点P(2,1) 是到直线3x+4y=0 的距离为2的一个点．

(4) 点Q(1,1) 是不是到直线3x+4y=0 的距离为2的一个点？

[解] 因为 ，所以点Q(1,1) 不是到直线3x+4y=0 的距离为2的一个点．

(5) 点P(2,1) 是不是到直线5x+12y=0 的距离为2的一个点？

[解] 因为 ，所以点P(2,1) 不是到直线5x+12y=0 的距离为2的一个点．

点评：本题的设计是比较新颖的，要求考试既要编题，又要解题．显然是考能力的＂活题＂．这是用数学问题考查创新意识的点范，读者应从中有所启发．

6、设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“①方程f(x)-x=0有实数根；②函数f(x)的导数f'(x)满足0

　　（I）判断函数 是否是集合M中的元素，并说明理由；

　　（II）集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意[m，n] D，都存在x₀∈[m，n]，使得等式f(n)-f(m)=(n-m)f'(x₀)成立”，试用这一性质证明：方程f(x)-x=0只有一个实数根；

　　（III）设x₁是方程f(x)-x=0的实数根，求证：对于f(x)定义域中任意的 .

　　解：（1）因为 ， 所以 满足条件0

　　所以函数 是集合M中的元素.

　　（2）假设方程f(x)-x=0存在两个实数根α,β(α≠β)，则f(α)-α=0,f(β)-β=0，不妨设α<β，根据题意存在数c∈(α,β), 使得等式f(β)-f(α)=f(β-α)f’(c)成立， 因为f(α)=α,f(β)=β,且α≠β，所以f’(c)=1，与已知0

　　（3）不妨设x₂3，因为f’(x)>0所以f(x)为增函数，所以f(x₂)3)，又因为f’(x)-1<0，所以函数f(x)-x为减函数， 所以f(x₂)-x₂>f(x₃)-x₃， 所以03)-f(x₂)3-x₂，即|f(x₃)-f(x₂)|<|x₃-x₂|, 所以|f(x₃)-f(x₂)|<|x₃-x₂|=|x₃-x₁-(x₂-x₁)|≤|x₃-x₁|+|x₂-x₁|<2.