1、在R上定义运算△：x△y=x(1 -y) 若不等式(x-a)△(x+a)<1,对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是

　　答案：(-1/2,3/2)

　　2、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的1/k(k∈N^*)。已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的4/7，请从这个实事中提炼出一个不等式组是

　　答案：

　　3、已知P={x|1≤x≤9,x∈N}，记f(a,b,c,d)=ab-cd，（其中a,b,c,d∈P），例如：f(1,2,3,4)=1×2-3×4=-10.

　　 设u,v,x,y∈P，且满足f(u,v,x,y)=39和f(u,y,x,v)=66，则有序数组(u,v,x,y)是

　　答案：(8,6,1,9)

　　4、有穷数列{a_n}，S_n为其前n项和，定义 为数列{a_n}的“凯森和”，如果有99项的数列a₁、a₂、a₃、…、a₉₉的“凯森和”为1000，则有100项的数列1、a₁、a₂、a₃、a₄、…a₉₉的“凯森和”T₁₀₀=

　　答案：991

　　5、（理）设P表示幂函数 在(0,+∞)上是增函数的c的集合；Q表示不等式|x-1|+|x-2c|＞1 任意x∈R恒成立的c的集合。（1）求P∩Q；（2）试写出一个解集为P∩Q的不等式。

　　（文）设P表示幂函数 在(0,+∞)上是增函数的c的集合；Q表示不等式|x-1|+|x-4|≥c对任意x∈R恒成立的c的集合。（1）求P∪Q；（2）试写出一个解集为P∪Q的不等式。

　　解：（理）（1）∵幂函数 在(0,+∞)上是增函数，∴c²-5c+6＞0，即P=(-∞,2)∪(3,+∞)，又不等式|x-1|+|x-2c|＞1对任意x∈R恒成立，∴|2c-1|>1，即Q=(-∞,0)∪(1,+∞)，

　　 ∴P∩Q=(-∞,0)∪(1,2)∪(3,+∞)。

　　 （2）一个解集为P∩Q的不等式可以是x(x-1)(x-2)(x-3)＞0

　　 （文）（1）∵幂函数 在(0,+∞)上是增函数，∴c²-6c+8＞0，即P=(-∞,2)∪(4,+∞)，

　　 又不等式|x-1|+|x-4|≥c对任意x∈R恒成立，∴c≤3，即Q=(-∞,3]，

　　 ∴P∪Q=(-∞,3]∪(4,+∞)

　　 （2）一个解集为P∪Q的不等式可以是 。

　　6、 （理）已知 为正常数。

　　 （1）可以证明：定理“若a、b∈R⁺，则 （当且仅当a=b时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；

　　 （2）若f(x)>0在(0,2)上恒成立，且函数f(x)的最大值大于1，求实数a的取值范围，并由此猜测y=f(x)的单调性（无需证明）；

　　 （3）对满足（2）的条件的一个常数a，设x=x₁时，f(x)取得最大值。试构造一个定义在D={x|x＞-2,且x≠4k-2,k∈N}上的函数g(x)，使当x∈(-2,2)时，g(x)=f(x)，当x∈D时，g(x)取得最大值的自变量的值构成以x₁为首项的等差数列。

　　解：（1）若a、b、c∈R⁺，则 （当且仅当a=b=c时取等号）。

　　 （2） 在(0,2)上恒成立，即 在(0,2)上恒成立，

　　∵ ，∴a²≥2，即 ，

　　又∵

　　∴ ，即 时，

　　 ，

　　又∵ ∈(0,2)，∴ 。 综上，得 。

　　 易知，f(x)是奇函数，∵ 时，函数有最大值，∴ 时，函数有最小值。

　　故猜测： 时，f(x)单调递减； 时，f(x)单调递增。

　　（3）依题意，只需构造以4为周期的周期函数即可。

　　 如对x∈(4k-2,4k+2),k∈N，x-4k∈(-2,2)，此时g(x)=g(x-4k)=f(x-4k)，

　　 即 。

　　（文）已知函数 ， ，(a,b∈R)

　　（Ⅰ）当b=0时，若f(x)在[2,+∞)上单调递增，求a的取值范围；

　　（Ⅱ）求满足下列条件的所有实数对(a,b)：当a是整数时，存在x₀，使得f(x₀)是f(x)的最大值，g(x₀)是g(x)的最小值；

　　（Ⅲ）对满足（Ⅱ）的条件的一个实数对(a,b)，试构造一个定义在D={x|x＞-2,且x≠2k-2,k∈N}上的函数h(x)，使当x∈(-2,0)时，h(x)=f(x)，当x∈D时，h(x)取得最大值的自变量的值构成以x₀为首项的等差数列。

　　解：（Ⅰ）当b=0时，f(x)=ax²-4x，

　　若a=0，f(x)=-4x，则f(x)在[2,+∞)上单调递减，不符题意。

　　故a≠0，要使f(x)在[2,+∞)上单调递增，必须满足 ，∴a≥1。

　　（Ⅱ）若a=0， ，则f(x)无最大值，故a≠0，∴f(x)为二次函数，

　　要使f(x)有最大值，必须满足 ，即a＜0且 ，

　　此时， 时，f(x)有最大值。

　　又g(x)取最小值时，x=x₀=a，依题意，有 ，则 ，

　　∵a＜0且 ，∴ ，得a=-1，此时b=-1或b=3。

　　∴满足条件的实数对(a,b)是(-1,-1),(-1,3)。

　　（Ⅲ）当实数对(a,b)是(-1,-1),(-1,3)时，f(x)=-x²-2x

　　依题意，只需构造以2（或2的正整数倍）为周期的周期函数即可。

　　如对x∈(2k-2,2k)，k∈N,x-2k∈(-2,0)，

　　此时，h(x)=h(x-2k)=f(x-2k)=-(x-2k)²-2(x-2k)，

　　故h(x)=-(x-2k)²-2(x-2k),x∈(2k-2,2k),k∈N