1、在数学拓展课上，老师规定了一种运算:a*b= ,例如：1*2=1，3*2=2，则函数f(x)=sinx*cosx的值域为 。

　　答案：

　　2、规定a△b= ，a, b∈R⁺，若1△k=3，则函数f(x)=k△x的值域为

　　答案：(1,+∞ )

　　3、若AB是过二次曲线中心的任一条弦，M是二次曲线上异于A、B的任一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则对于椭圆 有 。

　　类似地，对于双曲线 有 =

　　答案：

　　4、对于集合N={1, 2, 3,…, n}及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5。当集合N中的n=2时，集合N={1, 2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1, 2}，则它的“交替和”的总和S₂=1+2+(2–1)=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S₃、S₄，并根据其结果猜测集合N={1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和S_n= 。(不必给出证明)

　　答案：n ^.2^n–1

　　5、先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：

　　 已知 ， ，求证 ，

　　 证明：构造函数

　　 因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以 ≤0,

　　 从而得 ，

　　 （1）若 ， ，请写出上述结论的推广式；

　　 （2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。

　　解：（1）若 ， ，

　　求证：

　　（2）证明：构造函数

　　 因为对一切xÎR，都有f(x)≥0，所以△= ≤0,

　　 从而证得： .

　　6、 已知两个向量 ， .

　　（1）若t=1且 ，求实数x的值；

　　（2）对tÎR写出函数 具备的性质.

　　解：（1）由已知得 ……2分

　　 ……4分

　　解得x=±1，或 ……6分

　　（2） ……8分

　　具备的性质：

　　①偶函数；

　　②当 即 时，f(x)取得最小值 （写出值域为 也可）；

　　③单调性：在 上递减， 上递增；由对称性，在 上递增，在 递减 ……14分

　　说明：写出一个性质得3分，写出两个性质得5分，写出三个性质得6分，包括写出函数的零点（x=±1， ）等皆可。写出函数的定义域不得分，写错扣1分