一、开放探索题

　　例１（１）２００５年上海市已知一元二次方程有一个根为１，那么这个方程可以是＿＿＿＿＿＿＿．（写出一个即可）

　　（２）２００５年临沂市请写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为１，且其两根互为倒数＿＿＿＿＿＿．

　　分析：此例两个小题都是结论的开放与探索，即求出符合条件的结论．这类题答案不唯一，（１）考查一元二次方程根的定义；（２）侧重考查一元二次方程根与系数的关系．

　　解：（１）２ｘ２－２＝０等；

　　（２）－３ｘ２－３＝０等．

　　点评：本例是一道典型的答案不唯一的结论探索题目，难度不大，但却考查了同学们全面思考问题的能力，这样，既照顾了知识掌握程度不同的考生，同时也给了考生很大的发挥空间．

　　二、阅读理解题

　　例２２００５年济宁市在数学活动课时，王倩同学出了这样一道题：“已知ｘ１、ｘ２是方程ｘ２－ｘ＋１＝０的两个实数根，求ｘ１２＋ｘ２

　　２的值．”很快，张智同学给出了如下的解答：

　　“∵ｘ１＋ｘ２＝１，ｘ１·ｘ２＝１，

　　∴ｘ１２＋ｘ２

　　２＝（ｘ１＋ｘ２）２－２ｘ１ｘ２＝－１”．

　　（１）你对王倩同学出的这道题及张智同学的解答是否有不同的看法？若有，请写出你的见解；

　　（２）写出一个你喜欢的一元二次方程，并求出１ｘ１＋１ｘ２的值．

　　分析：乍一看，张智同学的解答显得有理有据，殊不知，王倩同学所出示的一元二次方程根的判别式小于零，是没有实数根的，故对此应持有不同的看法；对于（２）小题，在写方程时，应注意根的判别式不能小于零，且两根均不为零．

　　解：（１）有．因为ｘ２－ｘ＋１＝０的判别式为：△＝（－１）２－４×１×１＝－３＜０，所以王倩给出的方程没有实数根，故王倩的题目无法求解，因此张智的解法也是错误的．

　　（２）如：ｘ２－ｘ－１＝０．

　　∵△＝（－１）２－４×１×（－１）＝５＞０，

　　ｘ１＋ｘ２＝１，ｘ１·ｘ２＝－１

　　∴１ｘ１＋１ｘ２＝ｘ１＋ｘ２ｘ１ｘ２

　　＝－１

　　点评：阅读理解题在考查逻辑思维能力和运算能力的基础上，又增加了对阅读理解能力、接受和应用知识的能力以及自学能力的考查．这类题将在中考命题中占据主要地位，应当引起同学们足够的重视．

　　三、存在探究题

　　例３２００５年江西省设关于ｘ的一元二次方程ｘ２－４ｘ－２（ｋ－１）＝０有两个实数根ｘ１、ｘ２，问是否存在

　　ｘ１＋ｘ２＜ｘ１·ｘ２的情况？请说明理由．

　　分析：先由一元二次方程根与系数表示出ｘ１＋ｘ２、ｘ１·ｘ２的值，再假设存在ｘ１＋ｘ２＜ｘ１·ｘ２，从而得出ｋ的取值范围，若与由△≥０得出的ｋ的取值范围相矛盾，则不存在ｘ１＋ｘ２＜ｘ１·ｘ２，反之，则存在．

　　解：不存在．由根与系数的关系，

　　得ｘ１＋ｘ２＝４，ｘ１·ｘ２＝－２（ｋ－１）．

　　假设存在ｘ１＋ｘ２＜ｘ１·ｘ２，

　　即有４＜－２（ｋ－１），得ｋ＜－１；

　　又因所给方程有实根，

　　由根的判别式

　　△＝（－４）２－４－２（ｋ－１）≥０，

　　得ｋ≥－１．所以ｋ值不存在，

　　即不存在ｘ１＋ｘ２＜ｘ１·ｘ２的情况．

　　点评：解决这类题都需先判断，再说理．说理时，一般采用反证法，即假设所求结论存在，再由已知条件得到新的结论，看是否与假设得出的结论相矛盾．若矛盾，则不存在；反之，存在．这类题无疑对同学们的推理或运算能力，对知识的活学活用能力是一个完美的体验．

　　四、表格信息题

　　例４２００５年新疆区某种新产品进价是１２０元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销量（件），始终存在下表中的数量关系：

　　（１）请你根据上表所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销量减少的数量（件）之间的关系．

　　（２）在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到１６００元？

　　解：（１）由表格中数量关系可知：该产品每件售价上涨１元，其日销量就减少１件．

　　（２）设每件产品涨价ｘ元，则销售价为（１３０＋ｘ）元，日销售量为（７０－ｘ）件．由题意得：

　　（１３０＋ｘ）－１２０（７０－ｘ）＝１６００

　　解得，ｘ１＝ｘ２＝３０

　　１３０＋３０＝１６０（元）

　　答：每件商品定价为１６０元时，每日盈利达到１６００元．

　　说明：（２）还可以用表格中其他两组数据列出方程，结果相同．