1986年上海高考里有这样一道不等式证明题：

题目：设a>0,b>0，证明不等式：

   ．

为了证明这个不等式，我们可以着眼于将"开方"变化为"乘方"，利用分析的办法，其本质是：要证什么，只要证什么就行了．

证明１　（分析法）所证的不等式等价于

 ．　　　　　　（＊）

也就是 ，

等价于

也就是   ，　（＊＊）

注意到 ，这说明不等式（＊＊）显然成立．

故原不等式得证．

比较法是证明不等式的基本方法，其实质是：要证x>y，只要证明x-y>0就行了．请看作差证法．

证明２　（作差法）对不等式（＊）作差，得

于是，不等式（＊），也就是所要证明的不等式成立．

不等式证明的关键是，恰当的放大，或者缩小，这需要代数的推理，合理的思维，和解题的机智．

证明３　（放大法）注意到　

即

将这两个同向不等式叠加，得 ，

变形，得 ．

从以上的放大证法中受到启示，如果改为缩小的办法，就有：

证明4　（缩小法）注意到

即，

从而，有   ．

从原不等式出发，我们似乎可以看到一个函数 ，只要研究该函数的单调性就可以了．

证明5　（导数法）构造函数 ，其中,a,b>0，x>0．

两边取对数，得 ，

两边同时求导数，有

因为  ，

所以，

两边取对数，得，

于是 ．

这说明函数在上是递减函数，从而有

  ，

即知  ．

要知道，我们并不只是为了探索上述高考题的多种解答途径，而是想从中有所启示，有所比较，有所获得．

要晓得，简单化是解题转化的基本思维方式，想想看："乘方"的目的是什么？是为了消除"开方"，是为了"化无理为有理"，难道不是吗？不过，开方的次数过高的话，采用乘方的运算就大了，也就不利于问题的推广．不等式证明的本质就在于适度的"放缩"，而抓住了这一点，就形成了证明3和证明4．当中，仍然有局部的乘方技巧．该证法是比较巧妙的，但似乎难于想到．对于构造函数法，自然更具有一般性，当中的构造意味着什么呢？是思维的能力，是超越知识以外的东西，这就是数学的素质，这就是解题的智慧．

有了以上的分析，就能用其中的一些证法推广上述题目．

先考虑字母个数方面的推广，可得

推广１　设a>0,b>0,c>0，证明不等式：

 ．

再考虑字母次数方面的推广，可得

推广２　设a>0,b>0，正整数m,n满足m<n，证明不等式：

 ．

接下来，综合以上两个方面的推广，可得

推广３　设a>0,b>0,c>0，正整数m,n满足n<m，证明不等式：

  ．

最后，如果利用上面的构造函数证法，就可得出更具一般性的推广．

推广４　设 ，正实数m,n满足m<n，证明不等式：

 ．

至于上述推广的证明，留给读者去完成．

数学解题能力的提升，需要在观察、比较、变化、调整、选择的过程里去感悟，去体验，去反思，只有自己亲临解题活动的锻炼，才能逐渐形成分析问题和解决问题时的解题机智与解题智慧．