一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空填对得4分，否则一律得零分。

1、已知A={-1,3,m} ，集合B={3,4} ，若 ,则实数 m=______ 。

【解】已知A={-1,3,m} ，集合 B={3,4} ，若 , 则实数m=4 。

2、已知两条直线 若 ，则 a= ____.

【解】已知两条直线 若 ， ，则 a= 2.

3、若函数 的反函数的图像过点(2,-1) ，则 a=_____ 。

【解】若函数 ＝ （ a ＞0，且 a ≠1）的反函数的图象过点（2，－1），则原函数的图象过点(－1，2)，∴ ， a ＝ ．

4、计算： 。

【解】计算： 。

5、若复数 z 满足z=(m-2)+(m+1)i （ i 为虚数单位）为纯虚数，其中m∈R 则|z|=____ 。

【解】若复数 z 满足 z=(m-2)+(m+1)i （ i 为虚数单位）为纯虚数，其中m∈R ，则m=2，z=3i，|z|=3 。

6、函数y=sinxcosx 的最小正周期是_________。

【解】函数y=sinxcosx = sin2x，它的最小正周期是π。

7、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0) ,且焦距与虚轴长之比为5:4 ，则双曲线的标准方程是____________________.

【解】已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0) ,则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为5:4 ，即c:b=5:4 ，解得c=5.b=4 ，则双曲线的标准方程是 .

8、方程 的解是_______.

【解】方程 的解满足 ，解得x=5.

9、已知实数x,y 满足 ，则y-2x 的最大值是_________.

 【解】已知实数x,y 满足 ，在坐标系中画出可行域，得三个交点为A(3，0)、B(5，0)、C(1，2)，则y-2x 的最大值是0.

10、在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是______（结果用分数表示）。

【解】在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是 .

11、若曲线 与直线y=b 没有公共点，则 b 的取值范围是_________.

【解】曲线 得|y|>1，∴ y>1或y<－1，曲线与直线 y=b 没有公共点，则 b 的取值范围是[－1，1].

12、如图，平面中两条直线 和 相交于点 O ，对于平面上任意一点 M ,若 p,q 分别是 M 到直线 和 的距离，则称有序非负实数对(p,q) 是点 M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是____________.

【解】如图，平面中两条直线 和 相交于点 O ，对于平面上任意一点 M ,若p,q 分别是 M 到直线 和 的距离，则称有序非负实数对(p,q) 是点 M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点可以在两条直线相交所成的四个区域内各找到一个，所以满足条件的点的个数是4个.

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。

13、如图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是                 （   ）

（A）             （B）

（C）        （D）

【解】如图，在平行四边形ABCD中，根据向量的减法法则知 ，所以下列结论中错误的是C．

14、如果a<0,b>0，那么，下列不等式中正确的是             （  ）

（A）             （B）

（C）             （D）

【解】如果 a<0,b>0 ，那么 ，∴ ，选A.

15、若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（   ）                                  

（A）充分非必要条件           （B）必要非充分条件

（C）充分必要条件             （D）既非充分又非必要条件

【解】若空间中有两条直线，若“这两条直线为异面直线”，则“这两条直线没有公共点”；若 “这两条直线没有公共点”，则 “这两条直线可能平行，可能为异面直线”；∴ “这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，选A.

16、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是    （     ）

（A）48          （B） 18              （C） 24             （D）36

【解】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”，分情况讨论：① 对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12=24个；② 对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个；所以正方体中“正交线面对”共有36个．选D.

三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

17、（本题满分12分）

已知α是第一象限的角，且 ，求 的值。

【解】 =

   由已知可得sin ,

  ∴原式= .

18、（本题满分12分）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方方向相距20海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30° ，相距10海里 C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B处救援（角度精确到1°）？

【解】连接BC,由余弦定理得BC²=20²+10²－2×20×10COS120°=700.

     于是,BC=10 .

     ∵ ,    ∴sin∠ACB= ,

     ∵∠ACB<90°           ∴∠ACB=41°

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.

19、（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

在直三棱柱ABC-ABC中，∠ABC=90°,AB=BC=1 .

（1）求异面直线B₁C₁与AC 所成的角的大小；

（2）若A₁C与平面ABC所成角为45°，求三棱锥A₁-ABC的体积。

【解】(1) ∵BC∥B1C1, ∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角)

     ∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°,

     ∴异面直线B1C1与AC所成角为45°.

     (2) ∵AA1⊥平面ABC,

∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角, ∠ACA =45°.

∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC= ,

∴AA1= .

∴三棱锥A1-ABC的体积V= S△ABC×AA1= .

20、（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。设数列{a_n} 的前 n 项和为S_n ，且对任意正整数 n ， a_n+S_n=4096。

（1）求数列{a_n}的通项公式

（2）设数列{log₂a_n}的前 n 项和为T_n,对数列{T_n}，从第几项起T_n<-509？

【解】(1) ∵an+ Sn=4096, ∴a1+ S1=4096, a1 =2048.

     当n≥2时, an= Sn－Sn－1=(4096－an)－(4096－an－1)= an－1－an

       ∴ =      an=2048( )^n－1.

     (2) ∵log2an=log2[2048( )^n－1]=12－n,

     ∴Tn= (－n²+23n).

     由Tn<－509,解待n> ,而n是正整数,于是,n≥46.

     ∴从第46项起Tn<－509.

21、本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。

已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 ,右顶点为D(2,0) ,设点 .

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若 P 是椭圆上的动点，求线段 PA 中点 M 的轨迹方程；

（3）过原点 O 的直线交椭圆于点B,C ，求△ABC 面积的最大值。

【解】(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c= ,则半短轴b=1.

     又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为

(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),

 x=            x0=2x－1 

由    y=    得      y0=2y－

由,点P在椭圆上,得 ,

∴线段PA中点M的轨迹方程是 .

(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.

当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入 ,

解得B( , ),C(－ ,－ ),

则 ,又点A到直线BC的距离d= ,

∴△ABC的面积S△ABC=

于是S△ABC=

由 ≥－1,得S△ABC≤ ,其中,当k=－ 时,等号成立.

∴S△ABC的最大值是 .    

22（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分。

已知函数 有如下性质：如果常数 a>0 ，那么该函数在 上是减函数，在 上是增函数。

（1）如果函数 在(0,4] 上是减函数，在[4,+∞) 上是增函数，求 b 的值。

（2）设常数c∈[1,4] ，求函数 的最大值和最小值；

（3）当 n 是正整数时，研究函数 的单调性，并说明理由。

【解】(1) 由已知得 =4, ∴b=4.

     (2) ∵c∈[1,4], ∴ ∈[1,2],

     于是,当x= 时, 函数f(x)=x+ 取得最小值2 .

f(1)－f(2)= ,

当1≤c≤2时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+ ；

当2≤c≤4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.

(3)设0<x1<x2,g(x2)－g(x1)= .

     当 <x1<x2时, g(x2)>g(x1), 函数g(x)在[ ,+∞)上是增函数；

     当0<x1<x2< 时, g(x2)>g(x1), 函数g(x)在(0, ]上是减函数.

   当n是奇数时,g(x)是奇函数,

函数g(x) 在(－∞,－ ]上是增函数, 在[－ ,0)上是减函数.

   当n是偶数时, g(x)是偶函数,

   函数g(x)在(－∞,－ )上是减函数, 在[－ ,0]上是增函数.