差之毫厘，谬以千里 |
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| 作者：佚名 文章来源：中基网 更新时间：2008-2-25 15:45:03 |
要想学好数学，善于联想是非常重要的。这样才能比较出相似之试点的不同之处，也更能体现数学“严谨性”这一特点。下面有“貌合神离”的三组题，希望能抛砖引玉，使同学们体会经常“比较”会受益匪浅。
例1:(1)若不等式|x-3|-|x-4|<a成立,求实数a的取值范围？
(2) 若不等式|x-3|-|x-4|<a恒成立,求实数a的取值范围？
解:(1)若使不等式|x-3|-|x-4|<a成立,只要使a>(|x-3|-|x-4|<a )min即可
1（x＞4）
而|x-3|-|x-4|={ 2x-7（3＜x≤4）
-1（x≤3）
所以（|x-3|-|x-4|）min=-1 , ∴a>-1.
(2) 若使不等式|x-3|-|x-4|<a恒成立，只要使a>(|x-3|-|x-4|<a )max即可, (|x-3|-|x-4| )max=1,∴a>1.
一字之差，大相径庭。同学们可做下面的练习：
（1）若不等式|x+2|+|x-1|＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围？(a>3)
(2) 若不等式|x+2|+|x-1|＞a的解集是R，求实数a的取值范围？(a<3)
例2：（1）函数f(x)=lg(x＾2+mx+4)的定义域为R，求实数m的取值范围？
（2）函数f(x)=lg(x＾2+mx+4)的值域为R，求实数m的取值范围？
解：(1)由题意得x＾2+mx+4 >0 恒成立。∴△=m＾2-16<0 ∴-4<m<4.
(2) 由题意得x＾2+mx+4须取遍大于0的所有实数.根据函数的图象知△= m＾2-16≥0∴m≥4或m≤4。
例3：（1）已知函数y=f（x）满足f（x+2）=f（x-2）求证：函数y=f（x）的周期为4。
（2）已知函数y=f（x）满足f（x+2）=f（2-x）求证：函数y=f（x）的图象关于x=2对称。
（3） 求证：函数y=f（x+2）与y=f（2-x）的图象关于x=0对称。
证明： （1） ∵f（x+4）=f[（x+2）+2]=f[（x+2）-2]=f（x）∴T=4。
（2） 在y=f（x）上任取一点P。（x。，y。）设其关于x=2的对称点P（x，y）
则 { x=4-x。
y=y。 ∴P点的坐标为（4-x。，y。）又∵f（x+2）=f（x-2）∴f（4-x。）=f[2+（2-x。）]=
f[2-（2-x。）]=f（x。）=y。∴P点在y=f（x）上，又由于点P。的任意性，∴y=f（x）的图象关于x=2对称。
（3）设y=f（x+2）上任意一点P。的坐标为（x。，y。）则y。=f（x。+2），P。
x．=-x
关于x=0的对称点为P（x，y）则{y。=y 代入y。=f（x。+2）得y=f（-x+2）=f（2-x）∴函数y=f（x+2）与y=f（2-x）的图象关于x=0对称。
本例中，（1）（2）只有正负的符号之差，却得到不同的函数性质。（2）（3）看起来很相似
，实质却不同。（2）中是函数图象本身关于x=2对称，（3）中是y=f（x+2）与y=f（2-x）两函数图象之间的对称问题。处理的手段也不同。
从以上三例中可以看到在平常的学习中，一定要注意挖掘题意，区别细微之处，形成严谨的学风。
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